Высшая геометрия. Дифференциальная геометрия. Тензорный анализ

1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. - Наглядная геометрия

С этой книгой рекомендуется ознакомиться примерно по тем же причинам, почему следует при изучении общей физики читать лекции Фейнмана. Д. Гильберт известен как человек, внёсший значительный вклад в построение фундамента современной математики. Изложение отличается кристальной прозрачностью. Основные идеи доносятся до читателя с минимумом формул, но и не только на чисто качественном уровне.

2. Комацу М. - Многообразие геометрии

Эта книга вовсе может быть отнесена к категории популярных. В принципе, читатель, уже имеющий начальную математическую подготовку (первый-второй курс), может ограничиться просмотром книги по диагонали и сразу приступить к изучению более серьёзных курсов. Тем не менее, имеет смысл уделить внимание, например, такой теме, как введение неевклидовых геометрий.

3. Ефимов Н.В. - Высшая геометрия

Очень подробная книга, начинающая с самых основ геометрии - прямо с аксиоматики. Содержит понятное изложение основ проективной геометрии. Указываются соображения, приводящие к неевклидовым геометриям - в духе подхода Ф. Клейна и его Эрлангенской программы. Ознакомление с книгой очень рекомендуется.

4. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. - Дифференциальная геометрия. Первое знакомство

Главным образом речь идёт о классической дифференциальной геометрии, имеющей дело с описанием кривых и поверхностей. Рассказываются достаточно стандартные вещи вроде формул Френе, квадратичных форм поверхностей, индикатрисы кривизны и т.п. Впрочем затрагиваются и более сложные вопросы. Авторы книги не поскупились на иллюстрации и примеры. Для первого знакомства с предметом книга очень хороша - в полном соответствии с названием.

5. Рашевский П.К. - Курс дифференциальной геометрии

Почти энциклопедическая книга по классической дифференциальной геометрии. Сама книга давно стала классической. С точки зрения современной теории изложение довольно старомодное, но зато оно позволяет сразу заниматься вычислениями, непосредственно относящимися к кривым и поверхностям, формирует интуицию.

6. Норден А.П. - Теория поверхностей

Ещё одна книга, содержащая подробное изложение классической дифференциальной геометрии. Но в ней помимо этого подробно рассматривается и ковариантное дифференцирование на поверхностях. Вообще стандартным инструментом в книге является тензорный формализм. Поэтому книга может стать следующей ступенью к современному уровню (если предполагается плавный "подъём").

7. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. - Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии

Эта книга уже написана ближе к современному уровню. В ней классическая дифференциальная геометрия уже занимает далеко не центральное место. Акцент смещён в сторону топологии и анализа на поверхностях. Изложение достаточно сжатое, может потребовать от читателя значительной самостоятельной работы при чтении (что само по себе неплохо).

8. Рашевский П.К. - Риманова геометрия и тензорный анализ

Классическая книга по тензорному анализу и римановой геометрии с подробным изложением приложения теории к теории относительности (как частной, так и общей). Опять-таки книгу можно счесть достаточно старомодной. Но и снова пропускать этот этап лучше не нужно. Сначала лучше привыкнуть к общей идеологии теории, а потом переходить на более высокий уровень.

9. Иванов А.О., Тужилин А.А. - Тензорный анализ на многообразиях

Книга написана уже с современных позиций и при этом вполне понятно (а эти два качества в книгах по данному предмету редко совмещаются). Конечно, для её чтения предполагается некоторый начальный уровень у читателя (уверенное владение тензорным аппаратом, представление о теории групп, знание основ высшей алгебры) и опять-таки работа над текстом, а не простое чтение.

10. Новиков С.П., Тайманов И.А. - Современные геометрические структуры и поля

Тоже энциклопедическая книга, но написанная с современных позиций. Книгу отличает широкий охват тем (правда, местами это приводит к сжатому изложению). Требуется примерно такой же начальный уровень подготовки, как у предыдущей книги в списке.

11. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. - Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии

Хороший задачник, содержащий как задачи на отработку простейших навыков из классической дифференциальной геометрии, так и более сложные задачи, относящиеся к области топологии.