ОБЪЯВЛЕНИЕ. Лекции по теории групп

Уважаемые коллеги!

Есть планы с сентября 2019 года возобновить лекции по теории групп в МИФИ. Детали того, как это будет организовано, появятся позже. Сейчас важнее условиться о содержании лекций. Итак, что я планирую рассказывать:

1. Основные понятия и утверждения теории групп
- Определение группы. Изоморфизм групп
- Конечные группы. Таблица Кэли
- Теорема Лагранжа. Смежные классы
- Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор
- Сопряжённые элементы группы
- Инвариантная подгруппа. Фактор-группа
- Гомоморфизм
- Представления групп
- Приводимость представления группы
- Леммы Шура
- Характеры представлений
- Неприводимые представления симметрических групп
- Прямое произведение представлений групп
- Регулярное, квазирегулярное представления групп. Индуцированные представления групп

2. Группы Ли
- Инфинитезимальные операторы и генераторы группы
- Теоремы Ли
- Инварианты групп преобразований
- Групповые методы интегрирования дифференциальных уравнений
- Законы сохранения в классической и квантовой механике как следствие симметрий системы
- Экспоненциальная форма записи элементов групп Ли. Формула Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа
- Алгебра Ли
- Корневые векторы. Базис Картана-Вейля
- Корневые диаграммы
- Схемы Дынкина. Матрица Картана
- Присоединённое представление групп и алгебр Ли
- Тензорные операторы
- Операторы Казимира

3. Группы вращений
- Группа плоских вращений SO(2)
- Группа трёхмерных вращений SO(3). Параметризация трёхмерных поворотов
- Генераторы и алгебра группы SO(3)
- Неприводимые представления группы SO(3)
- Сферические функции
- Связь группы SO(3) с унитарной группой SU(2)
- Теорема Клебша-Гордана для группы SO(3)
- Тензорные представления группы SO(3)
- Спинорные представления группы SO(3)
- Группа четырёхмерных вращений SO(4) и симметрия атома водорода
- Группа вращений n–мерного пространства SO(n)

4. Группа Лоренца
- Преобразования Лоренца и их классификация
- Вращение Вигнера
- Прецессия Томаса
- Связь собственной группы Лоренца с группой SL2(C)
- Генераторы и алгебра собственной группы Лоренца
- Алгебра группы Пуанкаре
- Алгебра группы Галилея. Проективные представления групп
- Неприводимые представления собственной группы Лоренца
- Комплексно сопряжённые представления собственной группы Лоренца
- Спинорные представления собственной группы Лоренца
- Спинорные представления полной группы Лоренца
- Тензорные представления собственной группы Лоренца

5. Специальные унитарные группы
- Алгебра Ли унитарных групп
- Группа SU(2). Матрицы Паули
- Группа SU(2) и кватернионы
- Геометрия группы SU(2). Симплектические группы. Инвариантная мера интегрирования
- Группа SU(3). Матрицы Гелл-Манна. Операторы Казимира
- Группа SU(4)
- Неприводимые представления группы SU(2). Полиномы Якоби и полиномы Лежандра
- Неприводимые представления группы SU(3)
- Теорема Клебша-Гордана для группы SU(3)
- Тензорные представления групп SU(n)

В принципе, возможны дополнения о группах в дифференциальной геометрии, но это нужно обсуждать отдельно. Если есть вопросы, уточнения или пожелания, то их можно оставлять в теме ниже. Всё это приветствуется.

В субботу 14 сентября прошло первое занятие. Оно было вводное, на нём коротко говорилось о содержании курса, приводились примеры математических и физических приложений теории групп. Со следующего занятия начнём последовательное изучение самой теории. Детали того, когда и где состоится ближайшая встреча, можно найти здесь.

Что же касается содержания следующего занятия, то предполагается, что оно будет следующим:
- определение группы, простейшие примеры;
- изоморфизм групп;
- симметрические и знакопеременные группы (определение);
- подгруппы;
- смежные классы, теорема Лагранжа (если успеем).

Вдогонку к прошедшему занятию. Был задан вопрос о книге А.П. Исаева и В.А. Рубакова "Теория групп и симметрий". Многие вещи, которые в этой книге есть, я предполагаю рассказывать. Так что могу присоединить её к списку рекомендуемой литературы без колебаний.

По поводу книги Э. Зи "Group Theory in a Nutshell for Physicists". В ней много примеров физических приложений. Эти примеры в большинстве своём можно, в принципе, найти в других книгах - здесь они удачно собраны воедино, что есть несомненный плюс. С методической точки зрения оценить книгу пока не имел возможности: нужно внимательно вчитываться. Явно ничего плохого в глаза не бросилось. Единственное, что может создать неудобства - это отсутствие у книги перевода. Но это препятствие нельзя назвать непреодолимым, да и не для всех это препятствие. К тому же можно сразу терминологию на английском языке почерпнуть.

Дальше, по поводу особых групп Ли и их геометрии. Есть энциклопедическая книга Б.А. Розенфельда и М.П. Замаховского "Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства" (МЦНМО, 2003). Геометрии особых групп Ли в ней посвящена глава 8. К книге рекомендуется обращаться, уже имея представление о теории групп Ли и вообще об алгебраических структурах. Для неискушённого читателя книга сложновата.

Сегодня, 21 сентября, прошло запланированное занятие. План, заявленный в предыдущем сообщении, был выполнен, кроме последнего пункта. До смежных классов и теоремы Лагранжа всё-таки не дошли. С неё начнём в следующий раз. Вообще, план следующего занятия такой:
- смежные классы, теорема Лагранжа;
- действие группы на множестве; орбита элемента группы, стабилизатор;
- сопряжённые элементы группы;
- инвариантные подгруппы;
- фактор-группа.

Это программа-максимум - опять-таки, что успеем. Торопиться не будем: основные понятия и утверждения должны усвоиться, как следует.

Желающим закрепить увиденное и услышанное на сегодняшнем занятии предлагаются упражнения.

Задача 1. Построить таблицу Кэли четверной группы Клейна \(V_4\).
Задача 2. На занятии упоминалась группа ангармонических отношений. Её составляют функции одной комплексной переменной \(f_0(z)=z\), \(f_1(z)=\frac{1}{z}\), \(f_2(z)=1-z\), \(f_3(z)=\frac{1}{1-z}\), \(f_4(z)=\frac{z}{z-1}\), \(f_5(z)=\frac{z-1}{z}\). Предлагается показать, что эти преобразования образуют группу с обычной композицией в качестве групповой операции (т.е. \( (f_i\circ f_k)(z)=f_i(f_k(z))\) ). Построить таблицу Кэли этой группы.
Задача 3. Построить изоморфизм, связывающий группу симметрии правильного треугольника и группу \(S_3\). Используя этот изоморфизм, построить таблицу Кэли группы симметрии правильного треугольника.
Задача 4. Поставить в соответствие каждому элементу четверной группы Клейна \(V_4\) некоторую перестановку.
Задача 5. Найти все подгруппы группы симметрии правильного треугольника. Выделить их таблицы Кэли в таблице, построенной в задаче 3.
Задача 6. В группе симметрии тетраэдра выделить подгруппу, изоморфную четверной группе Клейна \(V_4\).

Задачи совсем простые - как и должно быть для начала. Если возникнет желание проверить свои ответы, можно это сделать здесь же, не дожидаясь очередного занятия, (только в отдельной теме или посредством личного сообщения). Обратная связь гарантируется.

В дополнение к предыдущей лекции. На ней упоминалась группа симметрии тетраэдра. Один раз стоит взглянуть на все её элементы. Сделать это можно здесь. Картинки увеличиваются при нажатии.

28 сентября прошло очередное занятие. Фактор-группу рассмотреть времени не хватило. Переносим её на следующий раз. Таким образом, план занятия 5 октября такой:
- фактор-группа;
- гомоморфизм;
- представление группы;
- унитарные представления групп.

Очередная порция упражнений.
Задача 1. Доказать, что конечная группа, порядок которой – простое число, является циклической.
Задача 2. Рассмотрим симметрическую группу \(S_n\). Она действует на множестве, состоящем из \(n\) объектов. Найти стабилизатор любого из этих объектов.
Задача 3. Найти число элементов группы преобразований симметрии икосаэдра и додекаэдра.
Задача 4. Пусть для элемента \(x \in G\) существует такое натуральное число \(n\), что \(x^n = e\) (это число называется порядком элемента в группе). Показать, что элементы группы, сопряжённые элементу \(x\), имеют такой же порядок.
Задача 5. Доказать, что \(H\) – инвариантная подгруппа группы \(G\) тогда и только тогда, когда она вместе с каждым элементом содержит все сопряжённые ему элементы.
Задача 6. Доказать, что \(H\) – инвариантная подгруппа группы \(G\) в следующих примерах:
а) \(G=S_n\), \(H=A_n\);
б) \(G=S_4\), \(H=V_4\);
в) \(G=GL_n(\mathbb{R})\), \(H=SL_n(\mathbb{R})\) - подгруппа матриц \(n\times n\) с определителем, равным единице (групповая операция - матричное умножение);
г) \(G=\text{Aut}\; G_1\), \(H=\text{Int}\; G_1\).

С разбора последней задачи в следующий раз начнётся занятие. Вообще, задачи 1, 5 и 6 рекомендуется решить: кое-что поспособствует лучшему пониманию, кое-что потребуется в дальнейшем.

5 октября прошло очередное занятие. Формально говоря, намеченный план выполнен, но осталось ощущение, что как-то с фактор-группой не заладилось. Поэтому возникла мысль сделать небольшой текст специально по этой теме - постараюсь это дело не откладывать и успеть его закончить до следующего занятия. Упражнения тоже будут, как и обычный анонс содержания ближайшей лекции - в течение пары дней.

Восполняю часть образовавшегося пробела, выкладывая очередной список задач.

Задача 1. Описать смежные классы группы \(GL_n (\mathbb{R})\) по подгруппе \(SL_n (\mathbb{R})\).
Задача 2. Чему равен порядок фактор-группы \(A_4 /V_4\)?
Задача 3. Найти фактор-группу \(S_3 /A_3\).
Задача 4. Доказать, что отображение \(f : GL_n (\mathbb{R}) \to \mathbb{R}_*\) (группы невырожденных квадратных матриц порядка \(n\) в мультипликативную группу вещественных чисел), при котором матрице ставится в соответствие её определитель, является гомоморфизмом. Найти образ и ядро этого гомоморфизма.
Задача 5. Доказать, что для конечной группы \(G_1\) и гомоморфизма \(f :G_1 \to G_2\)
$$|G_1 | = |\ker f|\cdot |Im\; f|.$$
Задача 6. Доказать, что любое представление простой группы является точным.
Задача 7. Построить четырёхмерное матричное представление четверной группы Клейна (Указание. Можно ориентироваться на изоморфизм, установленный между группой Клейна и подгруппой группы \(S_4\) - см. задачу 4 к первому занятию).

Дополнительный материал тоже скоро будет.

Обещанный материал о фактор-группе готов. Можно знакомиться.

И ещё план следующего занятия, которое планируется 19 октября:
- завершение рассказа об унитарных представлениях;
- приводимость представлений;
- леммы Шура;
- соотношения ортогональности для неприводимых представлений;
- характеры представлений.

Занятие сегодня состоялось. План следующего занятия, намеченного на 26 октября, такой:
- свойства характеров представлений;
- примеры неприводимых представлений групп;
- неприводимые представления симметрических групп;
- прямое произведение представлений групп.

О прямом произведении всё, что нужно, обсудить не успеем, скорее всего - остаток на следующий раз пойдёт. Движемся к завершению первого большого раздела курса.

Так как сегодня обсуждались достаточно формальные вещи, то и задача будет всего одна: докажите, что неприводимые представления абелевых групп одномерны.

После прошедшего сегодня занятия, как обычно анонс следующей лекции:
- прямое произведение групп;
- регулярное и квазирегулярное представление групп;
- индуцированные представления групп.
Тем самым завершим рассмотрение конечных групп.

И очередные задачи.

Задача 1. Построить неприводимые представления четверной группы Клейна.
Задача 2. Найти число элементов в каждом классе сопряжённых элементов группы \(S_n\).
Задача 3. Указать схемы Юнга, приводящие ко всем неэквивалентным неприводимым представлениям группы \(S_4\). Найти размерности этих представлений. Составить для каждой схемы операторы Юнга. (При наличии времени и желания какое-нибудь не одномерное представление неплохо было бы построить до конца.)

2 ноября прошла лекция, на которой мы закончили первый раздел, посвящённый общим понятиям и утверждениям теории групп. В следующий раз скажу ещё пару слов о методе индуцированных представлений - и пойдём дальше, группам Ли. План следующий:
- группы Ли;
- некоторые примеры групп, элементы которых зависят от параметров;
- инфинитезимальные операторы и генераторы групп Ли.

Возможно, будет небольшой текст об индуцированных представлениях групп, если времени хватит.

И новые задачи:
Задача 1. Доказать свойства прямого произведения матриц:
$$(A\otimes C)(B\otimes D)=(AB)\otimes(CD),$$
$$Sp\;(A\otimes B)=Sp\;A\cdot Sp\;B,$$
прямое произведение унитарных матриц унитарно.
Задача 2. Показать, что прямое произведение конечномерного представления группы на себя приводимо, и выполнить его разложение на неприводимые представления.

16 марта прошло занятие - в полном соответствии с заявленным планом. Обратите внимание: следующее занятие состоится 22 ноября в 18.00. Оно внеочередное. Так как не всем может быть удобен этот день или это время, я постараюсь подобрать темы, которые можно будет потом просто переписать у других слушателей. Основная линия изложения будет продолжена, как обычно, в субботу, 23 ноября. Примерное содержание выложу завтра.

Задачи к прошедшему занятию:

Задача 1. Найти аддитивный параметр для группы растяжений \(x'=ax,\;a>0\).

Задача 2. Установить правило композиции и обращения элемента группы одномерных проективных преобразований \(x'=\frac{a_{11}x+a_{12}}{a_{21}x+a_{22}},\;a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0\).

Задача 3. Найти инфинитезимальный оператор однопараметрической группы преобразований \(x'=\frac{x}{1-ax},\;y'=\frac{y}{1-ax}\).

Дополнение. 22 ноября основной темой занятия будут основы группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений.

22 и 23 ноября прошли занятия, на которых мы разобрали следующие темы:
- основы группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений;
- инварианты групп;
- первая теорема Ли;
- выделенная роль однопараметрических групп;
- законы сохранения в классической и квантовой механике как следствие симметрий системы;
- экспоненциальная запись элементов групп Ли.

В следующий раз, 30 ноября, план предполагается такой:
- алгебры Ли;
- корневые векторы, базис Картана-Вейля.
Последняя тема - это начало построения классификации алгебр Ли.

Новый список задач:
Задача 1. Восстановить по инфинитезимальному оператору \(\hat{X}=(x-y)\frac{\partial}{\partial x}+(x+y)\frac{\partial}{\partial y}\) общий вид преобразований однопараметрической группы.
Задача 2. Для однопараметрической группы преобразований \(x'=\frac{x}{1-ax},y'=\frac{y}{1-ax}\) найти инварианты группы.
Задача 3. Найти инварианты группы преобразований Галилея в одномерном случае.
Задача 4. Доказать, что для любой невырожденной матрицы \(C\) имеет место равенство \(\exp(CXC^{-1})=C(\exp X) C^{-1}\).
Задача 5. Вычислить \(\exp\left(x^2\frac{d}{dx}\right)f(x)\). Какую группу образуют преобразования с таким инфинитезимальным оператором?

30 ноября и 7 декабря прошли занятия, как и планировалось. Обсудили общие утверждения, касающиеся алгебр в целом и алгебр Ли в частности. Разобрали построение базиса Картана-Вейля, корневых диаграмм. Посмотрели на алгебры первого и второго ранга. Чуть-чуть не дошли до построения схем Дынкина.

14 декабря будут рассматриваться следующие вопросы:
- схемы Дынкина;
- присоединённое представление групп и алгебр Ли;
- тензорные операторы.

И список задач по пройденному материалу.

Задача 1. Показать, что векторы в трёхмерном евклидовом пространстве образуют алгебру Ли, если в качестве введённых на этом множестве операций выбрать сложение и векторное произведение.

Задача 2. Доказать, что структурные константы алгебры Ли образуют тензор третьей валентности.

Задача 3. Доказать, что гомоморфный образ алгебры изоморфен фактор-алгебре по ядру гомоморфизма.

Дальше хотелось бы обратиться к слушателям курса:
1. Мне не хватило времени на две важные темы: операторы Казимира и инвариантное интегрирование. Эти темы, вероятно, займут по времени несколько меньше, чем полноценная лекция. Если удастся согласовать время дополнительного занятия - я прочитаю эту дополнительную лекцию.

2. В течение всего семестра лекционный материал сопровождался выдачей задач для закрепления материала. Возможно, возникли вопросы по ним. Принципиально возможно договориться о том, нужно ли отдельное их обсуждение. Или можно ограничиться персональными обсуждениями - с этим тогда каждый сможет справиться сам. Можно связаться со мной здесь, на форуме, или по электронной почте.

3. И последнее. Первая половина курса завершается. Семестр близится к концу, скоро зачёты, поэтому следующая лекция будет последней, если не согласуется дополнительное занятие. Есть просьба ко всем слушателям. Я практически всегда в конце факультативных курсов просил это сделать. Сформулируйте, пожалуйста, резюме: что Вы можете сказать о курсе? Чего не хватило? Вообще, что было не так, как хотелось, как ожидалось? Своё мнение можно будет высказать на последнем занятии или опять-таки частным образом - как сочтёте удобным.

Сегодня, 14 декабря, состоялось последнее в этом семестре занятие. Все темы охвачены (хотя и с небольшими сокращениями).

Задача 1. Восстановить по схеме Дынкина алгебру \(A_2\).

Задача 2. Доказать, что оператор \(g^{ik}\hat{X_i}\hat{X_k}\) является оператором Казимира.

Задача 3. Группу образуют матрицы вида
$$\left(\begin{array}{cc}x&y\\0&1\end{array}\right)$$
с обычным умножением в качестве групповой операции. Построить лево- и право-инвариантную меры на этой группе.

Задача 4. Вычислить лево- и правоинвариантную меру для группы \(GL_2 (\mathbb{R})\), образованной невырожденными матрицами \(2 \times 2\) с вещественными элементами с обычным умножением в качестве бинарной операции.

В следующем семестре будем рассматривать группы вращений, группу Лоренца, унитарные группы. Надеюсь, дело дойдёт и до дифференциальной геометрии.

Всем слушателям спасибо за внимание!

Приветствую слушателей второй половины курса! Занятия продолжаются - по-прежнему по субботам, в прежнее время (12.40), в прежней аудитории К-714а. Первое занятие прошло 15 февраля. Речь шла о группе \(SO(2)\). Также мы начали говорить о группе трёхмерных вращений. В частности говорилось о том, что при попытках описания таких вращений с помощью трёх углов возникают проблемы. Я дам ссылку на видео, где хорошо рассказывается о т.н. Gimbal Lock. Рекомендуется посмотреть.

На занятии 22 февраля предполагается рассмотреть следующие темы:
- неприводимые представления группы \(SO(3)\),
- сферические функции,
- связь групп \(SO(3)\) и \(SU(2)\) - этот вопрос, видимо, только начнём обсуждать.

В качестве задачи к прошедшему занятию предлагаю провести одно вычисление. А именно, вычислить \( \exp D\), где \(D\) - антисимметрическая матрица третьего порядка.